Какое событие называется вероятным. Классическая вероятность и ее свойства. Виды случайных событий

Для практической деятельности важно уметь сравнивать события по степени возможности их наступления. Очевидно, события - «выпадение дождя» и «выпадение снега» в первый день лета в данной местности, «выигрыш по одному билету» и «выигрыш по каждому из 5 приобретенных билетов» денежно-вещевой лотереи обладают разной степенью возможности их наступления. Поэтому для сравнения событий нужна определенная мера.

Для количественной оценки степени возможности появления случайного события пользуются термином вероятность.

Поставим задачу дать количественную оценку возможности того, что при бросании игральной кости выпадет 4 очка. Выпадение четырех очков будем рассматривать в качестве события А. Каждый из возможных результатов испытания (испытание – бросание игральной кости) назовем элементарным исходом (элементарным событием).В нашем примере возможны следующие 6 элементарных исходов: выпало 1 очко, 2 очка, 3 очка, 4 очка, 5 очков, 6 очков. Те элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, назовем благоприятствующими этому событию. В нашем примере из шести элементарных исходов событию А благоприятствует один. Следовательно, вероятность того, что выпавшее количество очков окажется равным 4, равна 1/ 6. Это число и дает ту количественную оценку степени возможности появления четырех очков, которую мы и хотели найти.

Согласно классическому определению, вероятность события А равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу равновозможных элементарных исходов.

Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства:

С в о й с т в о 1.Вероятность достоверного события равна единице.

Р(А) = т/п = п/п = 1.

С в о й с т в о 2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Р(А) = т/п = 0/п = 0.

С в о й с т в о 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

0 Р(А) 1.

Пример 1. На территории предприятия произошла авария водопровода. Общая длина водопровода 150 м. В том числе 50 м. трубы приходится на труднодоступные места. Какова вероятность того, что ремонт придется производить именно на труднодоступном участке?

Р(А) = 50/150 = 1/3

Пример 2. В урне лежат т белых шаров и п черных. Чему равна вероятность вытащить белый шар (событие А) ?

3. Статистическое определение вероятности.

Пользуясь классическим определением вероятности, можно вычислить вероятность какого-либо случайного события, не прибегая к опыту. Однако это не всегда выполнимо, ибо на практике не всегда можно соблюдать условие равновозможности, лежащее в основе классического определения.

Например, если монета сплющена, то события «появление герба» и «появление цифры» нельзя считать равновозможными и формула (1) окажется неприменимой для подсчета вероятности любого из них. По этой причине наравне с классическим определением пользуются статистическим определением вероятности.

При изучении массовых явлений какое-либо случайное событие или случайная величина могут появляться несколько раз в процессе испытаний. Пусть, например, при п испытаниях событие А появилось т раз. Число т носит название частоты появления события А. Отношение частоты события А к общему числу испытаний п носит название частоты события или относительной частоты, которую обозначают

Если случайное событие имеет устойчивую частоту в серии испытаний, т.е. в каждой серии испытаний частота этого события изменяется незначительно и колеблется около некоторого положительного числа, то это число и принимается за вероятность данного события. Вычисленную таким образом вероятность называют статистической вероятностью.

(2)

Пример 1. Подбросим монету 10 раз и получим, например, такие результаты:

С увеличением числа испытаний колебания частоты уменьшаются и частота становится практически устойчивой. Такую устойчивую частоту и принимают равной вероятности интересующего нас события.

В примере с подбрасыванием монеты число опытов взято произвольно. На самом деле для получения достоверного значения вероятности число опытов должно быть значительно больше.

Теория вероятностей - это математическая наука, изучающая закономерности случайных событий. Вероятностным экспериментом (испытанием, наблюдением) называется эксперимент, результат которого нельзя предсказать заранее. В данном эксперименте любой его результат (исход) является событием.

Событие может быть достоверным (всегда происходит в результате испытания); невозможным (заведомо не происходит при испытании); случайным (может произойти или не произойти в условиях данного эксперимента).

Событие, которое нельзя разбить на более простые события, называется элементарным. Событие, представленное в виде совокупности нескольких элементарных событий, называется сложным (фирма не понесла убытки – прибыль может быть положительной либо равной нулю).

Два события, которые не могут происходить одновременно (увеличение налогов – рост располагаемого дохода; увеличение объема инвестиций – снижение уровня риска), называются несовместными.

Иными словами, два события несовместны, если появление одного из них исключает появление другого. В противном случае они являются совместными (увеличение объема продаж – увеличение прибыли). События называются противоположными, если одно из них происходит тогда и только тогда, когда не происходит другое (товар реализован – товар не реализован).

Вероятность события – это численная мера, которая вводится для сравнения событий по степени возможности их появления.

Классическое определение вероятности. Вероятностью Р (А ) события А называется отношение числа m равновозможных элементарных событий (исходов), благоприятствующих появлению события А , к общему числу n всех возможных элементарных исходов данного эксперимента:

Из вышеизложенного вытекают следующие основные свойства вероятности:

1. 0 £ Р (А ) £ 1.

2. Вероятность достоверного события А равна 1: Р (А ) = 1.

3. Вероятность невозможного события А равна 0: Р (А ) = 0.

4. Если события А и В несовместны, то Р (А + В ) = Р (А ) + Р (В ); если же события А и В совместны, то Р (А + В ) = Р (А ) + Р (В ) - Р (А . B). (Р (А . B) – вероятность совместного появления этих событий).

5. Если А и противоположные события, то Р () = 1 - Р (А ).

Если вероятность осуществления одного события не изменяет вероятности появления другого, то такие события называются независимыми.

При непосредственном вычислении вероятностей событий, характеризующихся большим числом исходов, следует пользоваться формулами комбинаторики . Для исследования группы событий (гипотез)

применяются формулы полной вероятности, Бейеса и Бернулли (n независимых испытаний – повторение опытов) .

При статистическом определении вероятности события А под n понимается полное число фактически проведенных испытаний, в которых событие А встретилось ровно m раз. В этом случае отношение m /n называется относительной частотой (частостью) W n (A ) появления события А в n произведенных испытаниях.

При определении вероятности по методу экспертных оценок под n понимается количество экспертов (специалистов в данной области), опрашиваемых на предмет возможности осуществления события А . При этом m из них утверждают, что событие А произойдет.

Понятия случайного события недостаточно для описания результатов наблюдений величин, имеющих числовое выражение. Например, при анализе финансового результата предприятия в первую очередь интересуются его размерами. Поэтому понятие случайного события дополняется понятием случайной величины.

Под случайной величиной (СВ) понимается величина, которая в результате наблюдения (испытания) принимает одно из возможного множества своих значений, заранее неизвестное и зависящее от случайных обстоятельств. Для каждого элементарного события СВ имеет единственное значение.

Различают дискретные и непрерывные СВ. Для дискретной СВ множество ее возможных значений конечно или счетно, т. е. СВ принимает отдельные изолированные значения, которые могут быть заранее перечислены, с определенными вероятностями. Для непрерывной СВ множество ее возможных значений бесконечно и несчетно, например, все числа данного интервала, т.е. возможные значения СВ не могут быть заранее перечислены и непрерывно заполняют некоторый промежуток.

Примеры случайных величин: Х - ежедневное число покупателей в супермаркете (дискретная СВ); Y - число детей, родившихся в течение суток в определенном административном центре (дискретная СВ); Z - координата точки попадания артиллерийского снаряда (непрерывная СВ).

Многие СВ, рассматриваемые в экономике, имеют настолько большое число возможных значений, что их удобнее представлять в виде непрерывных СВ. Например, курсы валют, доход населения и т. п.

Для описания СВ необходимо установить соотношение между всеми возможными значениями СВ и их вероятностями. Такое соотношение будет называться законом распределения СВ . Для дискретной СВ его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) либо графически. Например, таблично для СВ Х

Различные определения вероятности случайного события

Теория вероятностей – математическая наука, которая по вероятностям одних событий позволяет оценивать вероятности других событий, связанных с первыми.

Подтверждением того, что понятие «вероятность события» не имеет определения, является тот факт, что в теории вероятностей существует несколько подходов к объяснению этого понятия:

Классическое определение вероятности случайного события.

Вероятность события равна отношению числа благоприятных событию исходов опыта к общему числу исходов опыта.

Где

Число благоприятных исходов опыта;

Общее числоисходов опыта.

Исход опыта называется благоприятным для события , если при этом исходе опыта появилось событие . Например, если событие - появление карты красной масти, то появление туза бубей – исход, благоприятный событию .

Примеры.

1) Вероятность выпадения 5 очков на грани кубика равна , поскольку кубик может упасть любой из 6 граней кверху, а 5 очков находятся только на одной грани.

2) Вероятность выпадения герба при однократном бросании монеты - , поскольку монета может упасть гербом или решкой – два исхода опыта, а герб изображен лишь на одной стороне монеты.

3) Если в урне 12 шаров, из которых 5 – черные, то вероятность вынуть черный шар - , поскольку всего исходов опята – 12, а благоприятных из них - 5

Замечание. Классическое определение вероятности применимо при двух условиях:

1) все исходы опыта должны быть равновероятными;

2) опыт должен иметь конечное число исходов.

На практике бывает сложно доказать, что события равновероятные: например,при произведении опыта с подбрасыванием монеты на результат опыта могут влиять такие факторы как несимметричность монеты, влияние ее формы на аэродинамические характеристики полета, атмосферные условия и т.д., кроме того, существуют опыты с бесконечным числом исходов.

Пример . Ребенок бросает мяч, и максимальное расстояние, на которое он может забросить мяч – 15 метров. Найти вероятность того, что мяч улетит за отметку 3 м.

Решение. Искомую вероятность предлагается считать, как отношение длины отрезка, находящегося за отметкой 3 м (благоприятная область) к длине всего отрезка (всевозможные исходы):

Пример. Точку случайным образом бросают в круг радиуса 1. Какова вероятность того, что точка попадет во вписанный в круг квадрат?

Решение. Под вероятностью того, что точка попадет в квадрат, понимают в данном случае отношение площади квадрата (благоприятной площади)к площади круга (общая площадь фигуры, куда бросают точку):

Диагональ квадрата равна 2 и выражается через его сторону по теореме Пифагора:

Аналогичные рассуждения проводят и в пространстве: если в теле объема случайным образом выбирается точка, то вероятность того, что точка окажется в части тела объема , вычисляется как отношение объема благоприятной части к общему объему тела:

Объединяя все случаи, можно сформулировать правило вычисления геометрической вероятности:

Если в некоторой области случайным образом выбирается точка, то вероятность того, что точка окажется в части этой области равна:

, где

Обозначает меру области: в случае отрезка – это длина, в случае плоской области – это площадь, в случае пространственного тела – это объем, на поверхности – площадь поверхности, на кривой – длина кривой.

Интересным приложением понятия геометрической вероятности является задача о встрече.

Задача. (О встрече)

Два студента договорились о встрече, например, в10 часов утра на следующих условиях: каждый приходит в любое время в течение часа с 10 до 11 и ждет 10 минут, после чего уходит. Какова вероятность встречи?

Решение. Проиллюстрируем условия задачи следующим образом: на оси отложим время, идущее для первого из встречающихся, а на оси - время, идущее для второго. Поскольку эксперимент длится один час, то по обеим осям отложим отрезки длины 1. Моменты времени, когда встречающиеся пришли одновременно, интерпретируется диагональю квадрата.

Пусть первый пришел в некоторый момент времени . Студенты встретятся, если время прибытия второго на место встречи заключается в промежутке

Рассуждая так для любого момента времени , получим, что область времени, интерпретирующая возможность встречи («пересечение времён»нахождения на нужном месте первого и второго студентов) находится между двумя прямыми: и . Вероятность встречи определяется по формуле геометрической вероятности:

В 1933 г. Колмогоров А.М. (1903 - 1987) предложил аксиоматический подход к построению и изложению теории вероятности, который стал общепринятымв настоящее время. При построении теории вероятности как формальной аксиоматической теории требуется не только ввести базовое понятие – вероятность случайного события, но и описать его свойства с помощью аксиом (утверждений интуитивно верных, принимаемых без доказательства).

Такими утверждениями являются утверждения, аналогичные свойствам относительной частоты появления события.

Относительной частотой появления случайного события называется отношение числа появлений события в испытаниях к общему числу проведенных испытаний:

Очевидно, , для достоверного события , для невозможного события , для несовместных событий и верно следующее:

Пример. Проиллюстрируем последнее утверждение. Пусть из колоды в 36 карт вынимают карты. Пусть событие означает появление бубей , событие означает появление червей, а событие - появление карты красной масти. Очевидно, события и несовместны. При появлении красной масти ставим метку возле события , при появлении бубей – возле события , а при появлении червей – возле события . Очевидно, что метка возле события будет поставлена тогда и только тогда, когда будет поставлена метка возле события или возле события , т.е. .

Назовем вероятностью случайного события число, сопоставленное событию по следующему правилу:

Для несовместных событий и

Итак,

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА И ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ при ПРЕЗИДЕНТЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ОРЛОВСКИЙ ФИЛИАЛ

Кафедра Социологии и информационных технологий

Типовой расчет №1

по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

на тему «Основы теории вероятностей»

Орел – 2016.

Цель работы: закрепление теоретических знаний по теме основы теории вероятности, путем решения типовых задач. Усвоение понятий основных видов случайных событий и отработка навыков алгебраических действий над событиями.

Требования к оформлению работы : работа выполняется в рукописном виде, работа должна содержать все необходимые пояснения и выводы, формулы должны содержать расшифровку принятых обозначений, страницы должны быть пронумерованы.

Номер варианта соответствует порядковому номеру студента в списке группы.

Основные теоретические сведения

Теория вероятностей – раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений.

Понятие события. Классификация событий.

Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие события. Обозначаются события большими латинскими буквами А , В , С ,…

Событие – это возможный результат (исход) испытания или опыта.

Под испытанием понимается всякое целенаправленное действие.

Пример : стрелок стреляет по мишени. Выстрел – испытание, попадание в мишень – событие.

Событие называется случайным , если в условиях данного опыта оно может, как произойти так и не произойти.

Пример : Выстрел из ружья – испытание

Соб. А – попадание в цель,

Соб. В – промах – случайные события.

Событие называется достоверным , если в результате испытания оно обязательно должно произойти.

Пример : выпадение не более 6 очков при бросании игральной кости.

Событие называется невозможным , если в условиях данного опыта оно вообще не может произойти.

Пример : выпадение более 6 очков при бросании игральной кости.

События называются несовместными , если наступление одного из них исключает возможность наступления какого-либо другого. В противном случае события называются совместными.

Пример : Брошен игральный кубик. Выпадение 5 очков исключает выпадение 6 очков. Это несовместные события. Получение студентом на экзаменах оценок «хорошо» и «отлично» по двум различным дисциплинам – события совместные.

Два несовместных события, из которых одно должно обязательно произойти, называются противоположными . Событие противоположное событию А обозначают Ā .

Пример : Появление «герба» и появление «решки» при подбрасывании монеты – противоположные события.

Несколько событий в данном опыте называются равновозможными , если есть основания считать, что ни одно из этих событий не является более возможным, чем другие.

Пример : извлечение из колоды карт туза, десятки, дамы – события равновозможные.

Несколько событий образуют полную группу , если в результате испытания обязательно должно произойти одно и только одно из этих событий.

Пример : Выпадение числа очков 1, 2, 3, 4, 5, 6 при бросании игральной кости.

Классическое определение вероятности события. Свойства вероятности

Для практической деятельности важно уметь сравнивать события по степени возможности их наступления.

Вероятностью события называется численная мера степени объективной возможности наступления события.

Назовем элементарным исходом каждый из равновозможных результатов испытания.

Исход называется благоприятствующим (благоприятным) событию А , если его появление влечет за собой наступление события А .

Классическое определение : вероятность события А равна отношению числа благоприятных для данного события исходов к общему числу возможных исходов.

(1)
где P (A ) – вероятность события А ,

m – число благоприятных исходов,

n – число всех возможных исходов.

Пример : В лотерее 1000 билетов, из них 700 невыигрышных. Какова вероятность выигрыша по одному приобретенному билету.

Событие А – приобретен выигрышный билет

Число возможных исходов n =1000 – это общее число билетов в лотерее.

Число исходов, благоприятствующих событию А – это число выигрышных билетов, т.е., m =1000-700=300.

По классическому определению вероятности:

Ответ:
.

Отметим свойства вероятности события :

1) Вероятность любого события заключена между нулем и единицей, т.е. 0≤P (A )≤1.

2) Вероятность достоверного события равна 1.

3) Вероятность невозможного события равна 0.

Кроме классического существуют еще геометрическое и статистическое определения вероятности.

Элементы комбинаторики .

Для вычисления числа благоприятствующих рассматриваемому событию исходов или общего числа исходов широко используют формулы комбинаторики.

Пусть дано множество N из n различных элементов.

Определение 1: Комбинации, в каждую из которых входят все n элементов и которые отличаются друг от друга только порядком элементов называются перестановками из n элементов.

Pn =n ! (2),
где n ! (n -факториал) – произведение n первых чисел натурального ряда, т.е.

n ! = 1∙2∙3∙…∙(n –1)∙n

Так, например, 5!=1∙2∙3∙4∙5 = 120

Определение 2: m элементов (m ≤n ) и отличающиеся друг от друга или составом элементов или их порядком называются размещениями из n по m элементов.

(3) 
Определение 3: Комбинации, каждая из которых содержит m элементов (m ≤n ) и отличающиеся друг от друга только составом элементов называются сочетаниями из n по m элементов.

(4)
Замечание: изменение порядка элементов внутри одного сочетания не приводит к новому сочетанию.

Сформулируем два важных правила, часто применяемых при решении комбинаторных задач

Правило суммы: если объект А может быть выбран m способами, а объект В – n способами, то выбор либо А либо В может быть осуществлен m +n способами.

Правило произведения: если объект А может быть выбран m способами, а объект В после каждого такого выбора можно выбрать n способами, то пара объектов А и В в указанном порядке может быть выбрана m ∙ n способами.